数学之美:Matlab分形程序

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分形,具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”,即具有自相似的性质。分形()一词,是芒德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义。Fractal1973年,芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形的设想。

分形是一个数学术语,也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科,是研究一类现象特征的新的数学分科,相对于其几何形态,它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似,构成分形也不限于几何形式,时间过程也可以,故而与鞅论关系密切。

分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在,因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后,很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上,而且在实用上分形几何都具有重要价值。

 

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p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标

n=2; %n为结点数

A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵

for M=4:2:8
figure
for k=1:M

d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量

%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应

m=4*n-3; %迭代公式

q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量

p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标

p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标

p(3:4:m,:)=q+d+d*A’; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标

p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标

n=m; %迭代后新的结点数目

end

plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线
axis([0 10 0 10]) %设置坐标显示
end

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